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Cómo resolver funciones de decaimiento exponencial

Cómo resolver funciones de decaimiento exponencial

Las funciones exponenciales cuentan historias de cambios explosivos. Los dos tipos de funciones exponenciales son crecimiento exponencial y decadencia exponencial. Cuatro variables (cambio porcentual, tiempo, la cantidad al comienzo del período de tiempo y la cantidad al final del período de tiempo) juegan roles en funciones exponenciales. Use una función de disminución exponencial para encontrar la cantidad al comienzo del período de tiempo.

Decrecimiento exponencial

La disminución exponencial es el cambio que ocurre cuando una cantidad original se reduce en una tasa constante durante un período de tiempo.

Aquí hay una función de disminución exponencial:

y = una(1-si)X
  • y: Cantidad final restante después de la descomposición durante un período de tiempo
  • una: La cantidad original
  • X: Hora
  • El factor de descomposición es (1-si)
  • La variable si es el porcentaje de la disminución en forma decimal.

Propósito de encontrar la cantidad original

Si está leyendo este artículo, probablemente sea ambicioso. Seis años a partir de ahora, tal vez desee obtener un título universitario en Dream University. Con un precio de $ 120,000, Dream University evoca terrores nocturnos financieros. Después de las noches de insomnio, usted, mamá y papá se reúnen con un asesor financiero. Los ojos inyectados en sangre de sus padres se aclaran cuando el planificador revela que una inversión con una tasa de crecimiento del ocho por ciento puede ayudar a su familia a alcanzar el objetivo de $ 120,000. Estudiar mucho. Si usted y sus padres invierten $ 75,620.36 hoy, entonces Dream University se convertirá en su realidad gracias a la decadencia exponencial.

Cómo resolver

Esta función describe el crecimiento exponencial de la inversión:

120,000 = una(1 +.08)6
  • 120,000: cantidad final restante después de 6 años
  • .08: tasa de crecimiento anual
  • 6: El número de años para que la inversión crezca
  • una: La cantidad inicial que invirtió su familia

Gracias a la propiedad simétrica de igualdad, 120,000 = una(1 +.08)6 es lo mismo que una(1 +.08)6 = 120,000. La propiedad simétrica de la igualdad establece que si 10 + 5 = 15, entonces 15 = 10 + 5.

Si prefiere reescribir la ecuación con la constante (120,000) a la derecha de la ecuación, entonces hágalo.

una(1 +.08)6 = 120,000

Por supuesto, la ecuación no parece una ecuación lineal (6una = $ 120,000), pero es solucionable. ¡Quedarse con eso!

una(1 +.08)6 = 120,000

No resuelva esta ecuación exponencial dividiendo 120,000 entre 6. Es una tentación matemática no-no.

1. Use el orden de operaciones para simplificar

una(1 +.08)6 = 120,000
una(1.08)6 = 120,000 (paréntesis)
una(1.586874323) = 120,000 (exponente)

2. Resuelve dividiendo

una(1.586874323) = 120,000
una(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1una = 75,620.35523
una = 75,620.35523

El monto original para invertir es de aproximadamente $ 75,620.36.

3. Congelar: aún no has terminado; use el orden de operaciones para verificar su respuesta

120,000 = una(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Paréntesis)
120,000 = 75,620.35523 (1.586874323) (Exponente)
120,000 = 120,000 (Multiplicación)

Respuestas y explicaciones a las preguntas

Woodforest, Texas, un suburbio de Houston, está decidido a cerrar la brecha digital en su comunidad. Hace unos años, los líderes de la comunidad descubrieron que sus ciudadanos eran analfabetos informáticos. No tenían acceso a Internet y quedaron excluidos de la autopista de la información. Los líderes establecieron la World Wide Web on Wheels, un conjunto de estaciones de computadoras móviles.

World Wide Web on Wheels ha logrado su objetivo de solo 100 ciudadanos analfabetos informáticos en Woodforest. Los líderes de la comunidad estudiaron el progreso mensual de la World Wide Web sobre ruedas. Según los datos, la disminución de los ciudadanos analfabetos informáticos puede describirse mediante la siguiente función:

100 = una(1 - .12)10

1. ¿Cuántas personas son analfabetas informáticas 10 meses después del inicio de la World Wide Web sobre ruedas?

  • 100 personas

Compare esta función con la función de crecimiento exponencial original:

100 = una(1 - .12)10
y = una(1 + b)X

La variable y representa el número de personas analfabetas informáticas al final de los 10 meses, por lo que 100 personas siguen siendo analfabetas informáticas después de que la World Wide Web on Wheels comenzó a trabajar en la comunidad.

2. ¿Representa esta función una disminución exponencial o un crecimiento exponencial?

  • Esta función representa la disminución exponencial porque un signo negativo se encuentra frente al cambio porcentual (.12).

3. ¿Cuál es la tasa de cambio mensual?

  • 12 por ciento

4. ¿Cuántas personas eran analfabetas informáticas hace 10 meses, al inicio de la World Wide Web sobre ruedas?

  • 359 personas

Utilice el orden de las operaciones para simplificar.

100 = una(1 - .12)10

100 = una(.88)10 (Paréntesis)

100 = una(.278500976) (Exponente)

Divide para resolver.

100(.278500976) = una(.278500976) / (.278500976)

359.0651689 = 1una

359.0651689 = una

Use el orden de operaciones para verificar su respuesta.

100 = 359.0651689(1 - .12)10

100 = 359.0651689(.88)10 (Paréntesis)

100 = 359.0651689 (.278500976) (exponente)

100 = 100 (multiplicar)

5. Si estas tendencias continúan, ¿cuántas personas serán analfabetas informáticas 15 meses después del inicio de la World Wide Web on Wheels?

  • 52 personas

Agregue lo que sabe sobre la función.

y = 359.0651689(1 - .12) X

y = 359.0651689(1 - .12) 15

Utilice el orden de operaciones para encontrar y.

y = 359.0651689(.88)15 (Paréntesis)

y = 359.0651689 (.146973854) (exponente)

y = 52.77319167 (Multiplicar).