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¿Cómo podría Eratóstenes medir la circunferencia de la Tierra?

¿Cómo podría Eratóstenes medir la circunferencia de la Tierra?

Hace unos 2.200 años, Eratóstenes calculó el radio de la Tierra.

Una breve recapitulación

Plante un palo en el suelo verticalmente y espere hasta que el sol esté directamente encima del palo, es decir, hasta que no se proyecte ninguna sombra (o como se dice que es el caso históricamente, párese en el fondo de un pozo muy profundo en Syene y ver el sol perfectamente sobre ti).

Si al mismo tiempo, un amigo planta un segundo palo en el suelo en Alejandría (que se sabía que estaba a unos 800 km de Syene) y luego mide la longitud de la sombra, se podría calcular la circunferencia de la Tierra.

Ver también Cosmos: Sagan sobre el cálculo de Eratóstenes de la circunferencia de la Tierra

El problema que nunca he podido resolver es ¿cómo sabían Eratóstenes y su "amigo teórico" en Seyene que estaban midiendo la longitud de la sombra al mismo tiempo?

De hecho, ¿cómo pudo Eratóstenes probar que cualesquiera dos mediciones del sol ocurrieron "al mismo tiempo", cuando la forma principal en que se midió el tiempo en ese momento se basó en el sol?


Los sincronizó con el cenit solar.

Eratóstenes sabía que el día del solsticio de verano, el sol pasó verticalmente sobre Syene, que se encuentra muy cerca de los Trópicos de Cáncer. Como dice el relato tradicional, el sol estaba directamente arriba un pozo vertical en Syene, mientras que en Alejandría las columnas de la Biblioteca siempre dejan una sombra. De cualquier manera, concluyó que el sol estaba a 7,2 ° (1/50) de la vertical en Alejandría en su pico.

Haciendo sus observaciones cuando el sol estaba más alto en el día del solsticio de verano, podía estar razonablemente seguro de que era esencialmente "al mismo tiempo exacto" para todos sus propósitos y propósitos prácticos.


Sencillo.

Mientras que la tierra se mueve alrededor del año, el sol aparentemente se mueve entre el Trópico de Cáncer (norte) y el Trópico de Capricornio (sur). En el norte es comienzo de verano y el sol alcanza su punto más alto.

La primera ciudad donde existe el pozo profundo es la ciudad de Syene (ahora Assuan), que está casi exactamente en el Trópico de Cáncer, por lo que casi exactamente el 21 de junio el sol es casi exactamente vertical y el pozo está iluminado.

Sabiendo esto, Erastothenes solo necesitaba medir el ángulo del sol en Alejandría durante el 21 de junio y sabiendo que Syene es vertical obtiene la diferencia fácilmente. Solo necesita saber la distancia entre Alejandría y Syene (que debe medirse), multiplicarla por 360 grados / diferencia y obtener el diámetro de la Tierra.

Muy genial.

ADICION: Se preguntó si no era necesario tener ambas ciudades en el mismo meridiano para obtener el resultado correcto. Aunque en realidad no esté en el mismo meridiano lo hace inducir un error, este error es insignificante porque el punto cenit del sol se mueve con 397 m / s en Alejandría (423 m / s en Syene) en dirección oeste-este. Esto es supersónico; por lo que incluso un desplazamiento oeste-este más grande se cubre en poco tiempo y no se necesita una alineación.

Si bien no es necesario, es bastante fácil obtener la dirección geográfica exacta norte-sur. Coloque un palo recto verticalmente en la tierra y dibuje un círculo a su alrededor para que la sombra lo cruce temprano y tarde. Marca los puntos exactos donde la sombra toca el círculo. Ahora dibuja dos círculos alrededor de los puntos para que los círculos se crucen. Los dos puntos de intersección forman una línea que es exactamente de norte a sur. Si lo hace con estrellas y una pared nivelada, esto incluso superará al GPS en precisión.


Pregunta de calentamiento:
Sin salir de este país, ¿cómo podría saber qué tan lejos está en todo el mundo?


Introducción
Alrededor del 250 a. C., al mediodía del día del solsticio de verano (cuando el sol está en su punto más alto en el hemisferio norte) en Syrene, Egipto, la luz del sol llenó el pozo vertical de un pozo, lo que indica que el sol está directamente encima, por lo que un poste vertical no proyecta sombra. Eratóstenes, que vivía en Alejandría, se enteró de esto por medio de un viajero. Entonces, el mismo día, en un año diferente, notó que en Alejandría, a unos 800 kilómetros (km) de distancia, un poste vertical proyectaba una sombra. A partir de estas observaciones, hizo dos deducciones:

B. encontró la primera estimación de la circunferencia de la Tierra.

La tierra es esférica
Midió el ángulo formado por el poste y una línea que unía la punta de la sombra y la parte superior del poste (ver Figura 1) y encontró que el ángulo era de aproximadamente 7 o. Luego asumió que los rayos de luz del sol a la Tierra eran esencialmente paralelos ya que el sol estaba muy lejos y la Tierra era tan pequeña en relación con el sol. A partir de esto, y de sus observaciones en Alejandría y Siria, llegó a la conclusión de que la Tierra debe ser curva (ver Figura 2) y, por lo tanto, debe ser esférica.

Usar las matemáticas para encontrar la circunferencia de la Tierra
A continuación, utilizó toda esta información para obtener la primera estimación casi precisa de la circunferencia de la Tierra. Aquí & rsquos cómo: En la (no a escala) Figura 3

A denota la base del poste en Alejandría
S la base de un poste en Syrene
T la punta de la sombra proyectada por el poste en Alejandría
PAG la parte superior del mismo poste
mi el centro de la Tierra.


Ángulo APTO se midió en 7 o, por lo que según la geometría euclidiana los ángulos interiores y son iguales, por lo tanto, el ángulo .

Hay 360 o en un círculo completo, por lo que la porción de la circunferencia de la Tierra entre A y S es

, que es aproximadamente (o es aproximadamente 50).

La distancia de Alejandría a Syrene es de 800 km, por lo que concluyó que la circunferencia de la Tierra debe ser!

Esta estimación está muy cerca de las mediciones precisas modernas, por lo que Eratóstenes recibe crédito por el primer cálculo del tamaño de la Tierra.

Podemos obtener una respuesta ligeramente diferente si calculamos con mayor precisión:


Algunas fórmulas que usted y rsquoll necesitan (r = radio del círculo / esfera)

Circunferencia de un círculo:

Pregunta 1: ¿Cuál es el radio de la Tierra?
Utilice la estimación de Eratóstenes y rsquo para la circunferencia de la Tierra para encontrar su radio. (Redondea tu respuesta a 1 lugar decimal).

Pregunta 2: ¿Cuál es el volumen de la Tierra?
Usa tu respuesta a la Pregunta 1 para calcular el volumen de la Tierra. (Redondea tu respuesta a 3 lugares decimales).

A continuación, se muestran algunos ejercicios de seguimiento:

Este material se basa en el trabajo apoyado por la National Science Foundation bajo la subvención GEO-0355224. Todas las opiniones, hallazgos y conclusiones o recomendaciones expresadas en este material pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente los puntos de vista de la National Science Foundation.


Betelgeuse se encuentra a unos 640 años luz del sol. Al igual que otras supergigantes, morirá joven si la estrella tiene solo unos 10 millones de años. El sol, por el contrario, tiene casi 4.600 millones de años y solo está a la mitad de su vida.

Una estrella supergigante de color rojo brillante en nuestra galaxia que & # 8217 está cerca del final de su vida, Betelgeuse probablemente explotará como una supernova y será visible durante el día en algún momento de los próximos 100.000 años, pero su reciente episodio de oscurecimiento, que lo vio perder dos - tercios de su brillo en febrero de 2020 - parece haber sido ... polvo.


Eratóstenes sabía que al mediodía local del solsticio de verano (en el momento del día más largo, alrededor del 21 de junio en el hemisferio norte) en Syene (la actual Asuán, Egipto), el Sol estaba directamente arriba; de hecho, Syene estaba ligeramente al norte del trópico, sin embargo (ver notas 1). El mediodía local es: técnicamente, cuando el punto sub-solar está en algún lugar sobre su meridiano, es mediodía para usted. Entonces, ese día, Syene es el punto sub-solar de la Tierra (el punto sub-solar en un planeta es donde se percibe que su sol está directamente sobre su cabeza). Para obtener más información sobre el mediodía local y el punto subsolar, consulte el artículo titulado "Cómo se mueve la Tierra".

Sabía que el Sol estaba directamente sobre sus cabezas en Syene porque la sombra de alguien que miraba hacia un pozo profundo en ese momento en Syene bloqueaba el reflejo del Sol en el agua. También sabía que, incluso en el solsticio de verano, en su ciudad natal de Alejandría, que está más al norte que Syene, el Sol estaba Nunca directamente sobre su cabeza. En Alejandría, el ángulo de elevación del Sol sería de 83 ° o 7 ° al sur del cenit el 21 de junio.

Una ilustración que muestra cómo Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra incluso sin salir de Egipto. Imagen: W ikipedia

Suponiendo que Alejandría estaba al norte de Syene (de hecho, Alejandría está en una longitud más occidental), concluyó, usando geometría de líneas paralelas, que la distancia de Alejandría a Syene debe ser 7/360 de la circunferencia total de la Tierra (ver la imagen de abajo).

Usando la geometría de líneas paralelas, se puede concluir que la distancia de Alejandría a Syene debe ser 7/360 de la circunferencia total de la Tierra. Porque hay 360 grados en un círculo. Suponemos que la Tierra es una esfera perfecta aquí, lo cual no es cierto, pero lo suficientemente cerca para el propósito. Imagen: juliantrubin.com

Entonces, si uno supiera la distancia entre Syene y Alejandría, podría calcular la circunferencia de la Tierra. 360/7 está cerca de 1/50 de un círculo, por lo que Eratóstenes concluyó que la circunferencia de la Tierra era cincuenta veces esa distancia.

C = 360/7 x d (C-> circunferencia de la Tierra, d -> la distancia entre Syene y Alejandría)

Se sabía que la distancia entre las ciudades por los viajes en caravana era de aproximadamente 5.000 estadios (ver notas 2). Carl Sagan incluso dice que Eratóstenes le pagó a un hombre para que caminara y midiera la distancia (vea el video a continuación).

Hoy sabemos que la circunferencia ecuatorial de la Tierra es 40,075.017 km (24,901.461 mi). Si Eratóstenes utilizara el estadio olímpico de 176,4 m, lo que implicaría una circunferencia de 44.100 km, un error del 10%. Si utilizó el estadio italiano de 184,8 m que se convirtió (300 años después) en el valor más comúnmente aceptado para la longitud del estadio, el cálculo da una circunferencia de 46.100 km, un error del 15%.

  1. Que la distancia entre Alejandría y Siena era de 5000 estadios,
  2. Que la Tierra era una esfera perfecta.

Mil setecientos años después de la muerte de Eratóstenes, mientras Cristóbal Colón estudiaba lo que Eratóstenes había escrito sobre el tamaño de la Tierra, decidió creer, basándose en un mapa del astrónomo, matemático y cosmógrafo italiano Paolo dal Pozzo Toscanelli (1397 - 10 de mayo). 1482), que la circunferencia de la Tierra era un tercio más pequeña. Si Colón hubiera zarpado sabiendo que el valor de circunferencia más grande de Eratóstenes era más exacto, habría sabido que el lugar donde tocó tierra no era Asia, sino un Nuevo Mundo.

Aquí, un breve video publicado por Business Insider explica el método de Eratosthenes a continuación.

Otro video, un extracto de "Cosmos: A Personal Voyage" de Carl Sagan (una serie de televisión de trece capítulos escrita por Carl Sagan, Ann Druyan y Steven Soter, con Sagan como presentador).


Eratóstenes, hace más de 2.000 años, tiene una circunferencia estimada de la Tierra & # 8217s

Eratóstenes nació alrededor del 276 a. C. En Cirene (hoy Libia). Hizo una serie de descubrimientos e invenciones, incluido un sistema de latitud y longitud. Pudo haber sido el primero en calcular la distancia entre la Tierra y el Sol. Creó un mapa del mundo basado en el conocimiento de los tiempos, fue el iniciador de la cronología científica y estableció el sistema para fijar la fecha de los eventos, informados a partir de la fecha de la conquista de Troya.

Un día, mientras leía un papiro en la biblioteca, encontró una nota curiosa. & # 8220 Lejos al sur, en las últimas fronteras de Siena, se podía ver algo notable en el día más largo del año. El 21 de junio, las sombras de las columnas de los templos o un palo vertical van disminuyendo a medida que se acerca la tarde. Al mediodía, los rayos del sol se hunden en las profundidades de una fuente, donde es la sombra en otros días. Y luego, justo por la tarde, las columnas no tienen sombra y el sol brilla directamente en el agua del pozo. & # 8221

Eratóstenes, sin embargo, era un científico, y su contemplación de estas cosas comunes cambiaría el mundo. Como Eratóstenes tenía ganas de experimentar, de preguntarse si aquí, cerca de Alejandría, un palo hace una sombra el mediodía del 21 de junio. Entonces se le ocurrió una idea a Eratóstenes, pensó en usar un gnomon, un borde vertical. Cuando el sol estaba sobre sus cabezas en Alejandría al mediodía, Eratóstenes midió el ángulo entre el palo y los rayos del sol. El ángulo era de 7,2 °.

Los griegos creían que la Tierra era redonda y Alejandría estaba casi en la dirección norte de Syene, por lo que la geometría de una sección circular a través de la esfera mostraba que la distancia entre Alejandría y Syene era la quinta parte de la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes creía que la tierra era esférica y sabía que un círculo tenía 360 °. Por lo tanto, dividió 360 a 7,2. ¿El resultado? Su ángulo era cincuenta en un círculo.

Un hombre demasiado escéptico podría haber dicho que el informe de Siena estaba equivocado. Pero fue una simple observación, ¿por qué alguien habría mentido sobre un aspecto tan trivial? Eratóstenes se preguntó cómo al mismo tiempo un palo de Siena no podía tener sombra y un palo en Alejandría, 800 km al norte, para mostrar una sombra muy clara. La única respuesta fue que la superficie de la Tierra es curva. No solo eso, cuanto mayor es la curvatura, mayor es la diferencia en la longitud de las sombras. El sol está tan lejos que sus rayos son prácticamente paralelos cuando llegan a la Tierra.

Los palos en diferentes ángulos con respecto al Sol tendrán diferentes longitudes de sombras. Para la diferencia observada entre las longitudes de las sombras, la distancia entre Alejandría y Siena debe ser de 7 grados a la superficie de la Tierra. Si pudieras imaginar estos palos extendiéndose hasta el centro de la Tierra, se cruzarían en un ángulo de 7 grados. Bueno, 7 grados significa aproximadamente la parte 50 de toda la circunferencia de la Tierra, 360 grados. Eratóstenes sabía que una caravana de camellos tardaría 50 días en llegar desde Alejandría a Syene, cruzando 100 estadios al día. Entonces, la distancia de Alejandría a Syene es de 5000 estadios, lo que da una circunferencia de la Tierra de 250,000 estadios.

¿Qué tan exacto es este número si lo comparamos con los resultados obtenidos de los cálculos actuales & # 8217s? Los 250.000 estadios equivalen a 40.000-46.000 kilómetros. Con satélites que orbitan alrededor de nuestro planeta, los astrónomos midieron la circunferencia del polo polar de la tierra. ¿El resultado? 40 008 kilómetros.

Así que los cálculos hechos por Eratóstenes hace más de 2000 años son casi los mismos que los actuales, lo cual es realmente asombroso. ¡Qué extraordinaria precisión si pensamos que este científico solo usó una vara y un razonamiento geométrico! Hoy en día, los astrónomos también utilizan este método geométrico para medir distancias fuera de nuestro sistema solar.


¿Cómo midió Eratóstenes la circunferencia de la tierra?

(Este artículo es una traducción de la versión original en español).

El matemático griego Eratóstenes se dio cuenta de que el día del solsticio de verano (21 de junio) al mediodía, en la ciudad de Siena (actual Asuán) la luz del sol no proyectaba sombras en el fondo de un pozo, sino en la ciudad de Alejandría, al norte de Siena. , el mismo día a la misma hora proyecta una sombra en el fondo de un pozo.

El solsticio de verano es el día más largo del año y es producido por la inclinación del eje de la Tierra. En el solsticio de verano en el hemisferio norte el sol alcanza el cenit al mediodía en el Trópico de Cáncer, es decir, en lugares ubicados allí, el 21 de junio el sol & # 8217s rayos caen verticalmente sobre la tierra, y por supuesto a medida que es redondo, en otros lugares cae inclinado. La ciudad de Siena se encuentra muy cerca del Trópico de Cáncer.

La observación de Eratóstenes confirmó algo que otros griegos ya sospechaban: que la tierra era redonda, como si fuera plana, en Alejandría no debería proyectar una sombra sobre el pozo, como en Siena. Además, porque podemos ver la curvatura en el cielo, porque cuanto más se viaja hacia el norte, las estrellas y constelaciones miran cada vez más arriba, como Polaris y otras que simplemente desaparecen en el horizonte, como Canopus.

Al hacer estas observaciones, a Eratóstenes se le ocurrió una idea brillante. El 21 de junio, al mediodía en Alexandría, tomó un palo y midió el ángulo de la sombra proyectada sobre él y notó que era una quincuagésima parte de un círculo (en esos días no había nociones de grados). La parte 50 de un círculo (360 grados) equivalente a 7,2 grados.

Por lo tanto, como el mismo día a la misma hora los rayos del sol cayeron verticalmente sobre Siena proyectando sombras de cero grados sobre una vertical, así entre Siena y Alejandría había una distancia de 7.2 grados o la parte 50 de la circunferencia de la tierra. (Eratóstenes asumió que la tierra era perfectamente circular).

Eratóstenes ya sabía por las caravanas que comerciaban entre las dos ciudades, que había una distancia estimada de 5.000 estadios entre ellas. Por lo tanto, simplemente multiplicado por 50. Esto es 250.000 estadios. El estadio era la unidad griega de longitud, que variaba de un lugar a otro entre 157,5 metros y 184,8 metros. El estadio utilizado por Eratóstenes fue el ático italiano de 184,8 metros. Son 46.200 kms.

En el primer gráfico, la maqueta está inclinada pero hacia el sol no hay sombra. En el segundo gráfico, la maqueta se tituló, pero mantenerla recta y la sombra que se produce en ambas maquetas son iguales. En el tercer y cuarto gráfico la maqueta es curva, dejando el primer palo hacia el sol, y vemos en el segundo palo que la sombra es larga pero en el primer palo no hay sombra.

Debemos aclarar algo antes de continuar: ¿Cómo midió Eratóstenes el ángulo de la sombra proyectada? Lamentablemente se perdió el libro escrito por el propio Eratóstenes: & # 8220 Sobre la medida de la tierra & # 8221, que nos daría detalles de sus descubrimientos, como sucedió con muchos otros escritos de la antigüedad, que no sobrevivieron a la destrucción de la Biblioteca de Alejandría. (por tsunami, quemaduras por invasores) de la que Eratóstenes fue el tercer director. El astrónomo griego Cleomedes en su libro & # 8220 Sobre los movimientos circulares de los cuerpos celestes & # 8221 que es la principal fuente original a través de la cual sabemos del descubrimiento de Eratóstenes, solo dice que usó un gnomon- que es una varilla vertical o lápiz óptico que proyecta una sombra sobre una superficie horizontal, pero no dice cómo midió la sombra proyectada, pero a partir de esto, solo hay dos formas posibles de hacerlo: la primera, y la que todos conocemos, es usando funciones trigonométricas. En este caso sería encontrar el valor de la tangente, es decir, la medida de la sombra dividida por la medida de la varilla (cateto opuesto dividido por cateto adyacente), luego tomamos la tangente inversa (tan-1) con la calculadora para obtener el ángulo de la tangente, y opcionalmente podemos convertirlo a grados con el botón (.) del Casio. Pero las complejidades y el abstraccionismo del cálculo diferencial e integral no estaban disponibles en ese momento.

En mi búsqueda por resolver este misterio, descubrí o redescubrí una técnica simple pero olvidada, simplemente usando una brújula. Eratóstenes dibujaba a escala en un plano (o en papiro) la medida de la vara y de la sombra en el suelo y dibujaba la hipotenusa, luego volcaba el plano para mayor comodidad, por supuesto, dejando el lado opuesto a la hipotenusa (o el medida a escala del gnomon) como una línea horizontal e interponer una brújula con un lado en el vértice que se forma entre la hipotenusa y la medida del gnomon y dibujaría un círculo a su alrededor. Luego, en el punto donde la hipotenusa se cruza con la circunferencia, se coloca un lado de la brújula y y en el otro lado de la brújula se coloca en el punto donde la circunferencia trazada toca la línea horizontal. Dejamos la brújula con la misma medida y comenzamos a medir en la circunferencia cuántas partes son equivalentes. Pero, Eratóstenes tampoco tuvo que utilizar una brújula necesariamente ninguna vertical que girara alrededor de su propio eje, formando un círculo perfecto.

Usé el software & # 8220ruler and compass & # 8221 para construir digital y exactamente la circunferencia y los ángulos. Como podemos ver, la mitad de la circunferencia elaborada se divide en 25 partes iguales de 7,2 grados.

Puede poner un transportador transparente o una brújula en la pantalla y comprobarlo usted mismo.

Abajo hay una brújula de la época grecorromana conservada en el Museo Británico.

Ahora tenemos un gnomon simple que Eratóstenes debería haber usado y luego tres gnomones usados ​​para marcar la hora (relojes de sol).

La medida de la circunferencia de la tierra hecha por satélites avanzados es de aproximadamente 40,008 kilómetros. Teniendo en cuenta la simplicidad y la técnica rudimentaria pero ingeniosa utilizada por Eratóstenes, su aproximación al cálculo fue asombrosa. Solo se equivocó en 6.192 kms. Este es el 15%.

Ahora dejemos que & # 8217s use las poderosas herramientas tecnológicas que tenemos hoy, MapCrow y Google Map, y dejemos que & # 8217s rehaga el cálculo de Eratóstenes con medidas exactas para ver si su razonamiento era correcto.

La latitud es la distancia angular aproximada entre el ecuador y un punto dado del planeta. Hay líneas horizontales en un mapa. Se expresan en medidas angulares que van desde cero grados en el ecuador hasta 90 grados en el Polo Norte o 90 ° en el Polo Sur. Si trazamos una línea recta que va desde cualquier punto de la Tierra hasta el centro de la misma, el ángulo formado por esa línea recta y el plano ecuatorial, expresa la latitud de ese punto.

Antes de continuar, hay tres supuestos que debemos tener en cuenta:

1) Suponemos que la tierra es perfectamente redonda. Un grado de latitud no mide exactamente lo mismo en cada lugar, sino que varía levemente desde 110,57 km en el ecuador hasta 111,70 en los polos, por lo que no podemos suponer que 7 grados entre Alejandría y Syene tienen la misma distancia que 7 grados entre Alejandría. y alguna ciudad de Turquía. Por lo tanto, nuestro resultado nunca podría ser exactamente el mismo que el obtenido por satélites avanzados.

2) Si hacemos la resta de longitudes (líneas verticales del mapa) hay una diferencia de 3 grados (Eratóstenes asumió que tenían la misma longitud).

3) Otro pequeño error de Eratóstenes, es que Siena no estaba ubicada exactamente en la línea del Trópico de Cáncer (los puntos donde el sol y los rayos # 8217 caen verticalmente a la tierra el 21 de junio). Hoy son 72 kms (desde el centro). Pero debido a que los cambios en el eje de la tierra & # 8217s fluctúan entre 22.1 y 24.5 grados durante un período de 41,000 años, hace 2000 años estaba ubicado a una distancia de 41 kms.Para calcular las coordenadas del Tropic, utilicé el software de neoprogrammics.com y calculé los valores. Para el año -200. & # 8211

Si hacemos la resta de las latitudes, obtenemos una distancia angular de 7.1106 o 7 ° 6 & # 8216 entre las dos ciudades. Esto significa que la distancia entre Alejandría y Asuán es una parte de 50,6286 de un círculo (360 grados). Eratóstenes obtuvo una quincuagésima parte de una circunferencia que es 7.1997 o 7 ° 12 & # 8216.

La distancia no es de 924 kms, sino de 843 kms. 81 kms menos -Distancia aérea hasta el centro de las ciudades. & # 8211

El cálculo corregido de Eratóstenes da como resultado 42, 662 kms. El error es de solo 6.6% o 2.654 kms.

El razonamiento de Eratóstenes era bastante correcto. Las suposiciones que hizo no afectaron demasiado el resultado, por lo que se puede considerar que fueron bastante válidas dadas las limitaciones de la edad.

Ahora vayamos a Daftlogic.com y calculemos la distancia entre la ciudad de Alejandría y un punto en el mapa donde hay la misma longitud de Alejandría (29.9192) y está ubicado exactamente en la línea del trópico, que es la latitud 23. ° 26 y # 8216 o 23.4377.

Si restamos las coordenadas de Alejandría y el Trópico de Cáncer da como resultado una distancia angular de 7.7604, lo que significa una parte de un círculo de 46.3894 y multiplicada por 863.876 kms, esto da como resultado 40.074. ¡Impresionante! Solo 66 kms de diferencia (0,16%) del cálculo actual se aproximan para la tierra.

Si ajustamos ahora el Trópico de Cáncer a la posición que tenía en el año -200 aC, entonces encontraremos la verdadera medida de la sombra proyectada por la vara de Eratóstenes en Alejandría el 21 de junio al mediodía hace 2.200 años: 7.4815 que es 7 ° 29 y # 8216. Si trazamos la medida de 7.4815 en nuestro software, eso hace 48.1 partes de un círculo. 48 partes de un círculo multiplicadas por la distancia de 863,876 km entre Alejandría y el Trópico dan como resultado 41,561 kms. Entonces, entre los errores de Eratóstenes, debemos agregar 0.2818 que es 0 ° 17 & # 8216 grados de error al medir el ángulo de la sombra. Esto se debe a que con un lápiz, o una punta fina, es imposible distinguir entre 7,0 y 7,2 grados, y muy difícil entre 7,0 y 7,5 grados. Se esperaba que las divisiones de Eratostenes de la circunferencia pudieran tener un margen de error de hasta 4 partes de un círculo. Se equivocó en dos partes, lo cual no está mal considerando los instrumentos.

150 años después de Eratóstenes, el matemático griego Posidonio usó un método similar al usado por Eratóstenes (también descrito por Cleomedes en su libro), pero en lugar de usar el sol como referencia, usó una estrella llamada Canopus (la segunda estrella más brillante en el cielo). Se dio cuenta de que en Rodhas, esta estrella era visible justo por encima del horizonte, pero estando en Alejandría, esa estrella estaba más arriba en el cielo. Midió la longitud del arco que se trazó entre las dos posiciones de la estrella, probablemente usando un astrolabio, y supongo que restando la medida del ángulo de la estrella en el cielo de Alejandría menos el ángulo del cielo de Rodas, para encontrar la distancia angular entre Rodas y Alejandría. Pero la medición de Posidonio fue incorrecta. Consiguió una distancia de 7,5 ° o 7 ° 30 & # 8216, cuando en realidad, como vemos en el mapa, es sólo 4,97. Su error en la medición del ángulo debido a que el astrolabio no era realmente muy preciso (peores astrolabios primitivos), por eso fue reemplazado por el sextante 1500 años después. La distancia estimada por Posidonuis entre Alejandría y Rodhas da como resultado 72 una parte de un círculo y no la 48a parte que realmente representa.

Si hacemos un cálculo con datos correctos, resulta en 42.014 kms. El cálculo de Posidonius resultó en 28,968 kilómetros (28% de error en relación con la circunferencia real de la tierra). Fue esta medida y no la de Eratóstenes la que utilizó Ptolomeo en su famosa obra & # 8220Geography & # 8221. Colón nunca leyó a Ptolomeo, sino a otros autores de su época como Pierre d & # 8217Ailly, quien basándose en el cálculo de Posidonius utilizado en Geographia, estimó la distancia entre Canarias y Cipangu (Japón). Pero Columbus agregó otro error al asunto, asumiendo que Ailly se refería a millas italianas cuando en realidad se refería a millas árabes (que son más largas). Colón creía que entre Canarias y Cipangu había unas 2.400 millas náuticas, cuando en realidad eran 10.700. Por suerte para él, fundó un continente camino de Asia.

Este error en la medición de la circunferencia de la tierra es probablemente el que más ha influido en la historia de la humanidad. Si Colón hubiera sabido la longitud de la circunferencia de la Tierra calculada por Eratóstenes, nunca habría hecho su viaje, ya que para esa época ningún barco podía almacenar suficiente agua y provisiones para permanecer tanto tiempo en el mar, y el descubrimiento de una salida y un regreso. La ruta a América se habría retrasado quizás cientos de años.

Eratóstenes consiguió la circunferencia de la Tierra: el físico Klaus Kohl propone que Eratóstenes podría haber usado brújulas en un escafo, que era un reloj de sol hemisférico. El razonamiento es el mismo, es decir, contar cuántas veces el ángulo de inclinación se ajusta a la circunferencia, pero Kohl no se dio cuenta de que esto también se puede construir en un plano.


Medir la circunferencia de la Tierra con una sombra

Introducción
Si quisieras medir la circunferencia de la Tierra, ¿cuánto tiempo tendría que medir tu cinta métrica? ¿Necesitarías recorrer todo el mundo para encontrar la respuesta? ¿Crees que puedes hacerlo con solo un metro en una ubicación? ¡Prueba este proyecto para descubrirlo!

Sin embargo, antes de comenzar, es importante tener en cuenta que este proyecto solo funcionará dentro de las dos semanas posteriores a los equinoccios de primavera o de otoño (generalmente alrededor del 20 de marzo y el 23 de septiembre, respectivamente).

Fondo
¿Qué es la circunferencia terrestre y rsquos? En la era de la tecnología moderna, esto puede parecer una pregunta fácil de responder para los científicos con herramientas como satélites y GPS y mdas y sería aún más fácil para usted buscar la respuesta en línea. Podría parecerle imposible medir la circunferencia de nuestro planeta con solo una vara de un metro. El matemático griego Eratóstenes, sin embargo, pudo estimar la circunferencia de la Tierra y los rsquos hace más de 2.000 años, sin la ayuda de ninguna tecnología moderna. ¿Cómo? ¡Usó un poco de conocimiento sobre geometría!

En ese momento, Eratóstenes estaba en la ciudad de Alejandría en Egipto. Leyó que en una ciudad llamada Syene al sur de Alejandría, en un día particular del año al mediodía, el reflejo del sol era visible en el fondo de un pozo profundo. Esto significaba que el sol tenía que estar directamente sobre nuestras cabezas. (Otra forma de pensar en esto es que los objetos perfectamente verticales no proyectarían sombras.) Ese mismo día en Alejandría, un objeto vertical proyectó una sombra. Usando geometría, calculó la circunferencia de la Tierra basándose en algunas cosas que sabía (y una que no sabía):

  • Sabía que hay 360 grados en un círculo.
  • Podía medir el ángulo de la sombra proyectada por un objeto alto en Alejandría.
  • Conocía la distancia por tierra entre Alexandria y Syene. (Las dos ciudades estaban lo suficientemente cerca como para que la distancia se pudiera medir a pie).
  • ¡La única incógnita en la ecuación es la circunferencia de la Tierra!

La ecuación resultante fue:

Ángulo de sombra en Alejandría / 360 grados = Distancia entre Alejandría y Syene / Circunferencia de la Tierra

En este proyecto, usted mismo hará este cálculo midiendo el ángulo formado por una barra de un metro y una sombra rsquos en su ubicación. Deberá hacer la prueba cerca de los equinoccios de otoño o primavera, cuando el sol está directamente sobre su cabeza en el ecuador de la Tierra. Luego puedes buscar la distancia entre tu ciudad y el ecuador y usar la misma ecuación que usó Eratóstenes para calcular la circunferencia de la Tierra y rsquos. ¿Qué tan cerca cree que estará su resultado del valor & ldquoreal & rdquo?

Existe una regla geométrica sobre los ángulos formados por una línea que interseca dos líneas paralelas. Eratóstenes asumió que el sol estaba lo suficientemente lejos de nuestro planeta como para que sus rayos fueran efectivamente paralelos cuando llegaron a la Tierra. Esto le dijo que el ángulo de la sombra que midió en Alejandría era igual al ángulo entre Alejandría y Syene, medido en el centro de la Tierra. Si esto suena confuso, ¡no se preocupe! Es mucho más fácil de visualizar con una imagen. Consulte las referencias en la sección & ldquoMás para explorar & rdquo para ver algunos diagramas útiles y una explicación más detallada de la geometría involucrada.

  • Día soleado en o cerca de los equinoccios de primavera u otoño (alrededor del 20 de marzo o el 23 de septiembre, respectivamente)
  • Terreno plano y nivelado que estará expuesto a la luz solar directa alrededor del mediodía.
  • Metro de madera
  • Ofrézcase como voluntario para ayudar a sostener la varilla del medidor mientras toma las medidas (O, si está haciendo la prueba solo, puede usar un balde de arena o tierra para insertar un extremo de la varilla del medidor para mantenerlo en posición vertical).
  • Stick or rock to mark the location of the shadow
  • Calculadora
  • Protractor
  • Long piece of string
  • Optional: plumb bob (you can make one by tying a small weight to the end of a string) or post level to make sure the meter stick is vertical

Preparación

  • Look at your local weather forecast a few days in advance and pick a day where it looks like it will be mostly sunny around noon. (You have a window of several weeks to do this project, so don&rsquot get discouraged if it turns out to be cloudy! You can try again.)
  • Look up the sunrise and sunset times for that day in your local newspaper or on a calendar, weather or astronomy Web site. You will need to calculate &ldquosolar noon,&rdquo the time exactly halfway between sunrise and sunset, which is when the sun will be directly overhead. This will probably not be exactly 12 o&rsquoclock noon.
  • Go outside and set up for your materials about 10 minutes before solar noon so you have everything ready.
  • Set up your meter stick vertically, outside in a sunny spot just before solar noon.
  • If you have a volunteer to help, have them hold the meterstick. Otherwise, bury one end of the meterstick in a bucket of sand or dirt so it stays upright.
  • If you have a post level or plumb bob, use it to make sure the meterstick is perfectly vertical. Otherwise, do your best to eyeball it.
  • At solar noon, mark the end of the meterstick's shadow on the ground with a stick or a rock.
  • Draw an imaginary line between the top of the meterstick and the tip of its shadow. Your goal is to measure the angle between this line and the meterstick. Have your volunteer stretch a piece of string between the top of the meterstick and the end of its shadow.
  • Use a protractor to measure the angle between the string and the meterstick in degrees. Write this angle down.
  • Look up the distance between your city and the equator.
  • Calculate the circumference of the Earth using this equation:

Circumference = 360 x distance between your city and the equator / angle of shadow that you measured

  • What value do you get? How close is your answer to the true circumference of Earth (see &ldquoObservations and results&rdquo section)?
  • Extra: Try repeating your test on different days before, on and after the equinox or at different times before, at and after solar noon. How much does the accuracy of your answer change?
  • Extra: Ask a friend or family member in a different city to try the test on the same day and compare your results. Do you get the same answer?

Observations and results
In 200 B.C. Eratosthenes estimated Earth&rsquos circumference at about 46,250 kilometers (28,735 miles). Today we know our planet's circumference is roughly 40,000 kilometers (24,850 miles). Not bad for a more than 2,000-year-old estimate made with no modern technology! Depending on the error in your measurements&mdashsuch as the exact day and time you did the test, how accurately you were able to measure the angle or length of the shadow and how accurately you measured the distance between your city and the equator&mdashyou should be able to calculate a value fairly close to 40,000 kilometers (within a few hundred or maybe a few thousand). All without leaving your own backyard!

This activity brought to you in partnership with Science Buddies


How Eratosthenes Calculated the Circumference of The Earth

About 200 years BC in ancient Greece, scientists in those days were convinced that the spherical shape of the Earth, and not a flat disk, was correct.

Pythagoras considered a circle perfection to be upon any other, and as such, fits best to describe the excellence of the world.

Aristotle argued in his philosophical considerations about the theory of five elements. These describe all physical states, which, considered separately, must strive for the most perfection, that is to a circle.

After all, when during a solar eclipse, the spherical moon casts the shadow on the Earth, the same must happen when they swap in places during a lunar eclipse, causing the moon to be in the shadow of the Earth. Observation of the phenomenon reveals the shadow gradually covering the moon has a spherical shape. So if the Earth is the source of this spherical shadow, then it must be spherical itself. Pretty reasonable and accurate reasoning, ¿Derecha?

So Eratosthenes was convinced of many things back then.

But how big are you, my Earth? ¿Cómo?

It is obvious that one could not just go around the Earth, counting steps, and, when finished, multiplying it by the average distance taken in one, resulting in the circumference of the Earth.

Observing the summer solstice in Alexandria, he was watching the illuminance of the pit of a well at noon, noticing it was not quite full. There was a black spot on the bottom not illuminated by the sun.

Thus, having sun exactly overhead and by believing that its rays are parallel to each other, it was clear they cannot be perpendicular to the surface, but they have to be inclined at some angle therefore, to find out at what, he stuck an ordinary stick into a ground and measured the angle between it and its shadow.

Later he has heard that each year during the summer solstice, the sun’s rays falling on the bottom of a well in Syene illuminate its entire pit. He was intrigued by this fact because it would mean, that unlike the well in Alexandria, the sun’s rays fall perpendicular here. Only sphericity of the Earth could explain that the sun’s rays running parallel fall on the Earth’s surface at different angles during the same time. And if so, the Earth must be rounded. So if it is, as he has heard, it would be next evidence of the Earth’s sphericity.

Consequently, he decided to check this fact, going there on the day of the summer solstice to observe this phenomenon. It turned out that indeed, there was simply no shadow in Syene. It profs the spherical shape of the Earth.

But how to come up from this fact for calculating the circumference of the Earth?

Eratosthenes thought the following way. Well, the difference in angle between these two cities is equal to 7.12°, which is 50.56 times less than a full circle. Thus if one measures the distance from Alexandria to Syene and multiply it by this amount, then what got has to be the circumference of the Earth!

However, the way he determined the distance x between these cities is not entirely clear. Some say he used caravans’ knowledge and the fact that camels travel at a more or less constant speed. Others say that he measured this distance himself or hire someone to do it for him. What I believe in is having the soul of the scientist had to force him to check all data used in calculation somehow that has not come from a reliable source.

Anyway, he got a distance of 5000 stadia, where one is equal to 600 Greek feet. And here we have a little confusion about the exact result because it was not the same everywhere in Greece, let’s take the one he probably used, that is 185 m. That is:


CALCULATION OF THE CIRCUMFERENCE OF THE EARTH BY ERATOSTHENES (240 BC)

Eratosthenes knew that at local noon on the summer solstice in the Ancient Egyptian city of Swenet (known in ancient Greek as Syene, and now as Aswan) on the Tropic of Cancer, the Sun would appear at the zenith, directly overhead. He knew this because he had been told that the shadow of someone looking down a deep well in Syene would block the reflection of the Sun at noon off the water at the bottom of the well. Using a gnomon, he measured the Sun’s angle of elevation at noon on the solstice in Alexandria, and found it to be 1/50th of a circle (7°12′) south of the zenith. He may have used a compass to measure the angle of the shadow cast by the Sun.[17] Assuming that the Earth was spherical (360°), and that Alexandria was due north of Syene, he concluded that the meridian arc distance from Alexandria to Syene must therefore be 1/50th of a circle’s circumference, or 7°12’/360°. It was unlikely, even accounting for his extremely primitive measuring tools, that Eratosthenes could have calculated an accurate measurement for the circumference of the Earth due to three important assumptions he made (none of which are perfectly accurate):

  1. That Alexandria and Syene lay on the same meridian,
  2. That the distance between Alexandria and Syene was 5000 stades,
  3. That the Earth was a perfect sphere.

Above illustration is showing a portion of the globe showing a part of the African continent. The sunbeams shown as two rays hitting the ground at Syene and Alexandria. Angle of the sunbeam and the gnomons (vertical sticks) is shown at Alexandria which allowed Eratosthenes’ estimates of radius and circumference of Earth (Wikipedia, 2016).


1 respuesta 1

Certainly that the Earth is spherical was a commonplace (among the educated people) at the time of Eratosthenes. Once you start traveling on sea (or climbing mountains) you immediately notice that the Earth is curved. Observations of the sky from different places confirm that and tell you that it is spherical, at least approximately (before that there were also theories that is is conical or cylindrical). The opinion that Earth is spherical is traditionally credited to Pythagoras (who lived 3 centuries before Eratosthenes), and there is no doubt that it was universally accepted by the Greek and Alexandrian scientists for long time before Eratosthenes.

All this is described in many books. (Including the details of Eratosthenes measurement). With really great detail in Delambre, Histoire d'Astronomie ancienne, vol. I. This is in French and not very modern:-) But very comprehensive. A more popular book is Dreyer, History of planetary theories. Later editions are called History of astronomy from Thales to Kepler.

We cannot evaluate Eratosthenes accuracy because he gives the dimensions in stadia, and there were many different stadia used at that time, and there is no way to tell how long his stadium exactly was. In any case, the analysis shows that it could not be very accurate, but gave the right order of magnitude. The main source of error was the distance measurement on Earth which could be done only very approximately: a courier walked on a road and counted steps. (It is not even known whether there was a special expedition to measure this distance, which is unlikely, or Eratosthenes just relied on travelers accounts). At the time of Eratosthenes (and later in antiquity) there were no precise measurements of the size of the Earth. Much later calculations of Posidonius are even less accurate than those of Eratosthenes. But again, this is a speculation because we do not know how Posidonius measured the distances on the Earth, and what his length unit exactly was.

As I mentioned in another post, even Newton in his youth thought that one degree is 60 (British) miles. This is probably what he was taught in the university in 17 century!

Remark. The books I mentioned are those which on my opinion are the best. But they can be hardly called "modern". On the other hand, if you type "Eratosthenes measurement" on Google, you obtain many expositions to choose from.


Ver el vídeo: CALCULAMOS LA CIRCUNFERENCIA Y EL RADIO DE LA TIERRA SEGÚN ERATÓSTENES (Noviembre 2021).

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